Question

1．閱讀下列材料，然后回答問題：
化簡：$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$=$\frac{2•（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}-1$，這種化簡步驟叫做分母有理化，還可用以下方法化簡：$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}-1$
（1）請用兩種不同的方法化簡：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$；
（2）化簡：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$．

Answer 1

分析 （1）根據題中給出的例子把原式進行化簡即可；
（2）把各式的分母有理化，找出規律即可得出結論．

解答 解：（1）$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{5-3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{{（\sqrt{5}）}^{2}-{（\sqrt{3}）}^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．

（2）原式=$\frac{\sqrt{3}-1}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{（\sqrt{7}+\sqrt{5}）（\sqrt{7}-\sqrt{5}）}$+…+$\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{（\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}）（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）}$
=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-1）．

點評 本題考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式是解答此題的關鍵．