Question

4．觀察下列等式：
12×231=132×21，14×451=154×41，32×253=352×23，34×473=374×43，45×594=495×54，…
以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”．
（1）根據上述各式反映的規律填空，使式子稱為“數字對稱等式”：
①35×583=385×53；②26×682=286×62．
（2）設數字對稱式左邊的兩位數的十位數字為m，個位數字為n，且2≤m+n≤9，用含m，n的代數式表示數字對稱式左邊的兩位數的乘積P，并求出P能被110整除時mn的值．

Answer 1

分析 （1）觀察規律，左邊，兩位數所乘的數是這個兩位數的個位數字變為百位數字，十位數字變為個位數字，兩個數字的和放在十位；右邊，三位數與左邊的三位數字百位與個位數字交換，兩位數與左邊的兩位數十位與個位數字交換然后相乘，根據此規律進行填空即可；
（2）按照（1）中對稱等式的方法寫出，然后利用多項式的乘法進行解答即可

解答 解：（1）①∵5+3=8，
∴左邊的三位數是583，右邊的三位數是385，
∴35×583=385×53，
②∵左邊的三位數是286，
∴左邊的兩位數是26，右邊的兩位數是62，
26×682=286×62．
（2）∵左邊兩位數的十位數字為m，個位數字為n，
∴左邊的兩位數是10m+n，三位數是100n+10（m+n）+m，
右邊的兩位數是10n+m，三位數是100m+10（m+n）+n，
∴P=（10m+n）×[100n+10（m+n）+m]=1100mn+110m²+110n²+11mn；
則$\frac{P}{110}$=10mn+m²+n²+$\frac{mn}{10}$，
P能被110整除，則mn能被10整除，
且2≤m+n≤9，
故mn=2×5=10或mn=4×5=20．

點評 此題考查因式分解的實際運用，數字變化規律，根據已知信息，理清利用左邊的兩位數的十位數字與個位數字變化得到其它的三個數字是解題的關鍵．