Question

（本題10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．

（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）

（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷△ADF的形狀，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）作圖見(jiàn)試題解析；（2）△ADF是等腰直角三角形，理由見(jiàn)試題解析．

【解析】

試題分析：（1）以D為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于G，交DC于H，分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫(huà)弧，兩弧交于N，作射線DN，交AM于F．

（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．

試題解析：（1）如圖所示：

（2）△ADF的形狀是等腰直角三角形，

理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，

∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．

考點(diǎn)：1．等腰三角形的判定與性質(zhì)；2．作圖題．