Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數圖象上任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標軸分別交于點A、B．（本小題滿分10分）

（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；

（2）求△AOB的面積；

（3）如圖2，Q是反比例函數圖象上異于點P的另一點，以Q為圓心，QO為半徑畫圓與坐標軸分別交于點C、D，求證：DO·OC=BO·OA．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）24；（3）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）∠AOB=90°，由圓周角定理的推論，可以證明AB是⊙P的直徑；

（2）將△AOB的面積用含點P坐標的表達式表示出來，容易計算出結果；

（3）對于反比例函數上另外一點Q，⊙Q與坐標軸所形成的△COD的面積，依然不變，與△AOB的面積相等．

解答：（1）證明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對的圓周角，∴AB是⊙P的直徑．

（2）【解析】
設點P坐標為（m，n）（m＞0，n＞0），

∵點P是反比例函數圖象上一點，∴mn=12．

如答圖，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，則OM=m，ON=n．

由垂徑定理可知，點M為OA中點，點N為OB中點，

∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，

∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．

（3）證明：∵以Q為圓心，QO為半徑畫圓與坐標軸分別交于點C、D，∠COD=90°，

∴DC是⊙Q的直徑．

若點Q為反比例函數圖象上異于點P的另一點，

參照（2），同理可得：S△COD=DO•CO=24，

則有：S△COD=S△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，

∴DO•OC=BO•OA．

考點：反比例函數綜合題．