Question

19．如圖，點P在射線AB的上方，且∠PAB=45°，PA=2，點M是射線AB上的動點（點M不與點A重合），現將點P繞點A按順時針方向旋轉60°，到點Q，將點M繞點P按逆時針方向旋轉60°到點N，連結AQ，PM，PN，作直線QN．
（1）求證：AM=QN；
（2）直線QN與以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓是否存在相切的情況？若存在，請求出此時AM的長，若不存在，請說明理由；
（3）當以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓經過點Q時，直接寫出劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉的旋轉判斷出△APQ為等邊三角形，再判斷出∠APM=∠QPN，從而得出△APM≌△QPN即可；
（2）由直線和圓相切得出∠AMP=∠QNP=90°，再用勾股定理即可求出結論；
（3）先判斷出PA=PQ，再判斷出PQ=PN=PM，進而求出∠QPM=30°，即可求出∠QPN=90°，最后用扇形的面積公式即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接PQ，
由點P繞點A按順時針方向旋轉60°到點Q，
可得，AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ為等邊三角形，
∴PA=PQ，∠APQ=60°，
由點M繞點P按逆時針方向旋轉60°到點N，
可得，PM=PN，∠MPN=60°，
∴∠APM=∠QPN，
則△APM≌△QPN（SAS），
∴AM=QN．
（2）解：存在．
如圖2，由（1）中的證明可知，△APM≌△QPN，
∴∠AMP=∠QNP，
∵直線QN與以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓相切，
∴∠AMP=∠QNP=90°，
即：PN⊥QN，
在R△APM中，∠PAB=45°，PA=2，
∴AM=$\sqrt{2}$．
（3）解：如圖3，由（1）知，△APQ是等邊三角形，
∴PA=PQ，∠APQ=60°，
∵以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓經過點Q，
∴PN=PQ=PA，
∵PM=PN，
∴PA=PM，
∵∠PAB=45°，
∴∠APM=90°，
∴∠MPQ=∠APM-∠APQ=30°，
∵∠MPN=60°，
∴∠QPN=90°，
∴劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積是扇形QPN的面積，而此扇形的圓心角∠QPN=90°，半徑為PN=PM=PA=2，
∴劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積=$\frac{90π•{2}^{2}}{360}$=π．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，切線的性質，扇形的面積公式，解（1）的關鍵是得出PA=PQ，解（2）的關鍵是得出PN⊥QN，解（3）的關鍵是得出PN=PQ=PA，解本題的難點是畫出符合題意的圖形．