Question

8．定義：有兩組鄰邊相等的四邊形是箏形
（1）請你寫出箏形的一條性質：箏形的一組對角相等．
（2）請你寫出一條以最少的條件判定箏形的真命題（定義除外），并給出證明：有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形．
（3）已知箏形ABCD中，AC=9，BD=4，求箏形ABCD的面積．
（4）對于命題“一組對角相等，另一組對角不相等的四邊形是箏形”，請你判斷正誤，正確的請給出證明，錯誤的請舉出反例．

Answer 1

分析 （1）有兩組鄰邊相等的四邊形是箏形，根據三角形全等可得其性質；
（2）根據箏形的對角線的位置關系，可得有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形，再寫出已知、求證，畫出圖形，并證明即可；
（3）根據箏形ABCD的面積=△ABD的面積+△BCD的面積，進行計算即可；
（4）命題“一組對角相等，另一組對角不相等的四邊形是箏形”是假命題，舉出反例，畫出圖形即可．

解答 解：（1）箏形的一條性質：箏形的一組對角相等；
故答案為：箏形的一組對角相等；

（2）判定箏形的真命題：有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形．
已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC是BD的垂直平分線．
求證：四邊形ABCD是箏形．
證明：∵AC是BD的垂直平分線，
∴AB=AD，CB=CD，
∴四邊形ABCD是箏形；
故答案為：有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形；

（3）∵箏形ABCD中，AC=9，BD=4，
∴箏形ABCD的面積=△ABD的面積+△BCD的面積
=$\frac{1}{2}$×BD×AO+$\frac{1}{2}$×BD×CO
=$\frac{1}{2}$×BD×（AO+CO）
=$\frac{1}{2}$×BD×AC
=$\frac{1}{2}$×4×9
=18；

（4）命題“一組對角相等，另一組對角不相等的四邊形是箏形”是假命題．
反例：如圖所示，四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠BAD≠∠BCD，但四邊形ABCD不是箏形．

點評 本題主要考查了命題與定理，解決問題的關鍵是掌握：命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”的形式．解題時注意：要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．