Question

19．已知關(guān)于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁、x₂滿足|x₁|+|x₂|=2|x₁x₂|-3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）=4k²-12k+9-4k²-4=-12k+5＞0，求出k的取值范圍；
（2）首先判斷出兩根均小于0，然后去掉絕對(duì)值，進(jìn)而得到-2k+3=2k²+2-3，結(jié)合k的取值范圍解方程即可．

解答 解：（1）∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）=4k²-12k+9-4k²-4=-12k+5＞0，
解得：k＜$\frac{5}{12}$；

（2）∵k＜$\frac{5}{12}$，
∴x₁+x₂=2k-3＜0，
又∵x₁•x₂=k²+1＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=-2k+3，
∵|x₁|+|x₂|=2|x₁x₂|-3，
∴-2k+3=2k²+2-3，即k²+k-2=0，
∴k₁=1，k₂=-2，
又∵k＜$\frac{5}{12}$，
∴k=-2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，（1）△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；（4）x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$；（5）x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．