Question

10．在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x²-2x+n-1與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B．
（1）當△OAB是等腰直角三角形時，求n的值；
（2）點C的坐標為（3，0），若該拋物線與線段OC有且只有一個公共點，結合函數的圖象求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求得點B的坐標，再根據△OAB是等腰直角三角形得出點A的坐標，代入求得n即可；
（2）分兩種情況：拋物線的頂點在x軸上和拋物線的頂點在x軸下方兩種情況求解可得．

解答 解：（1）二次函數的對稱軸是x=-$\frac{-2}{2}$=1，則B的坐標是（1，0），
當△OAB是等腰直角三角形時，OA=OB=1，
則A的坐標是（0，1）或（0，-1）．
拋物線y=x²-2x+n-1與y軸交于點A的坐標是（0，n-1）．
則n-1=1或n-1=-1，解得n=2或n=0；

（2）①當拋物線的頂點在x軸上時，△=（-2）²-4（n-1）=0，
解得：n=2；
②當拋物線的頂點在x軸下方時，
如圖，

由圖可知當x=0時，y＜0；當x=3時，y≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{n-1＜0}\\{9-6+n-1≥0}\end{array}\right.$，
解得：-2≤n＜1，
綜上，-2≤n＜1或n=2．

點評 本題考查了二次函數的圖象和等腰直角三角形的性質，明確等腰直角三角形中兩條邊相等，解題的關鍵是根據拋物線與線段OC有且只有一個公共點得出x=0時y＜0；x=3時，y≥0的結論．