Question

如圖，在△ABC中，AD是高．
（1）若AB=17，AC=10，BC=21，求AD．
（2）若E、F分別是AB、AC的中點，試說明EF垂直平分AD．

Answer 1

考點：勾股定理,全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質

專題：計算題

分析：（1）由AD為高，得到三角形ABD與三角形ACD都為直角三角形，利用勾股定理分別表示出AD²，設BD=x，列出關于x的方程，求出方程的解即可得到AD的長；
（2）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AE=DE，AF=DF，以及EF為公共邊，利用SSS得到三角形AEF與三角形EFD全等，利用全等三角形對應角相等得到∠AEF=∠DEF，再由AE=DE，即可得證．

解答： 解：（1）∵AD是高，∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴根據勾股定理得：AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，
設BD=x，則有17²-x²=10²-（21-x）²，
解得：x=15，
則AD=

172-152

=8；
（2）∵AD是高，E、F分別是AB、AC的中點，
∴AE=DE，AF=DF，
在△AEF和△DEF中，

AE=DE EF=EF AF=DF

，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠AEF=∠DEF，
∵AE=DE，
∴EF垂直平分AD．

點評：此題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．