Question

關于x的二次函數y=kx²+kx+1-k（k≠0）與一次函數的圖象交于點A（1，1+k），B（0，1-k）
（1）求一次函數表達式（含有常數k）；
（2）猜測對任意實數k（k≠0），二次函數圖象都具有的特征，并說明理由（寫兩條）；
（3）要使一次函數與二次函數都是y隨x的增大而減小，求k滿足的條件以及x的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,待定系數法求一次函數解析式

專題：

分析：（1）根據待定系數法即可求得一次函數的表達式．
（2）猜想：不論k取何值，函數y=kx²+kx+1-k（k≠0的圖象的對稱軸x=-

1

2

，必過定點（

-1+ 5

2

，1），（

-1- 5

2

，1）．由對稱軸方程公式得x=-

1

2

，由解析式變形，得y=k（x²+x-1）+1，可知當x²+x-1=0，即x=

-1+ 5

2

或

-1- 5

2

時，函數值與k的取值無關，此時y=1，可得定點坐標；
（3）根據一次函數和二次函數的性質即可得出一次函數與二次函數都是y隨x的增大而減小時，k滿足的條件以及x的取值范圍．

解答： 解：（1）設直線的解析式為y=ax+b，
∵一次函數的圖象經過點A（1，1+k），B（0，1-k），
∴

1+k=a+b b=1-k

，解得

a=2k b=1-k

，
∴一次函數表達式為y=2k+1-k．
（2）不論k取何值，函數y=kx²+kx+1-k（k≠0的圖象的對稱軸x=-

1

2

，必過定點（

-1+ 5

2

，1），（

-1- 5

2

，1）．
證明如下：
將x=

-1± 5

2

時代入函數中解出y=1．
所以函數的圖象必過定點（

-1+ 5

2

，1），（

-1- 5

2

，1）．
對稱軸x=-

b

2a

=-

k

2k

=-

1

2

．
所以不論k取何值，函數y=kx²+kx+1-k（k≠0的圖象的對稱軸是定值．
（3）由直線y=2k+1-k可知當k＜0時，y隨x的增大而減小，對于二次函數y=kx²+kx+1-k（k≠0）的圖象開口向下，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小，
∵函數y=kx²+kx+1-k（k≠0的圖象的對稱軸x=-

1

2

，
∴當k＜0，且x＞-

1

2

時一次函數與二次函數都是y隨x的增大而減小．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法、二次函數的增減性等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．