Question

8．如圖，在△ABC外作兩個大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連結DC、BE交于F點．
（1）求證：CD=BE
（2）求證：CD⊥BE．

Answer 1

分析 （1）由題意可得AD=AB，AC=AE，由∠DAB=∠CAE=90°，可得到∠DAC=∠BAE，從而可證△DAC≌△BAE；
（2）由（1）可得∠ACD=∠AEB，再利用直角三角形的性質及等量代換即可得到結論．

解答 （1）證明：∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
在△DAC與△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠DAC=∠BAE}&{\;}\\{AC=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）證明：∵△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠AEB，
∵∠AEB+∠ANE=90°，
∠ANE=∠FNC，
∴∠FNC+∠ACD=90°，
∴∠NFC=90°，
∴CD⊥BE．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質，及直角三角形的性質；證明三角形全等是解決本題的關鍵．