Question

如圖，已知矩形ABCD中，BC=12，ACB=30º，動點P在線段AC上，從點A向點C以每秒個單位的速度運動，設運動時間為t秒，以點P為頂點，作等邊△PMN，點M、N在直線BC上，取BC的中點O，以OB為邊在Rt△ABC內部作如圖所示的矩形BOEF，點E在線段AC上.

（1）求等邊△PMN的邊長（用含t的代數式表示）；

（2）設等邊△PMN和矩形BOEF重合部分面積為S，請直接寫出當0≤t≤2時S與t的函數關系式，并寫出對應的自變量的取值范圍；

（3）點P在運動過程中，是否存在點M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3），，，

【解析】

試題分析：（1）利用△BPH∽△BAO，得出PH的長，再利用解直角三角形求出PN的長；

（2）根據當0≤t≤1時以及當t=1時和當t=2時，分別求出S的值；

（3）分三種情況①EF=MF，②EF=ME，③MF=ME，分別建立方程求解即可．

試題解析：（1）（1）過P作PH⊥BC于H，

∵BC=12，∠ACB=30°，∴AB=，∴AC=2AB=，

∵AP=，∴PC=，∵△BPH∽△BAO，∴，∴PH=，

∵cos30°=，∴PN=，

（2）當0≤t≤1時，S1=S四邊形EONG，作GH⊥OB于H，如圖3，

∵∠GNH=60°，GH=，∴HN=2，∵PN=NB=8﹣t，∴ON=OB﹣NB，∴ON=12﹣（8﹣t）=4+t，

∴OH=4+t﹣2=2+t，

S1=（2+t+4+t）×=，

當1＜t＜2時，如圖4，S2=S五邊形IFONG，作GH⊥OB于H，

∵AP2=，∴AF=，∴OF=，

∴EF=，∴EI=2t﹣2，

∴S2=S梯形EONG﹣S△EFI=，

∴；

（3）由（1）知：MB=4-2t，∴MO=10-2t，∴，∴，

①當EF=MF時，即，∴，∴或<0（舍去），

②當EF=ME時，即，∴，∴或，

③當MF=ME時，即，∴．

綜上所述，當或或或時，△EFM是等腰三角形．

考點：1．二次函數綜合題；2．等邊三角形的性質；3．相似三角形的判定與性質．