Question

15．關(guān)于x的一元二次方程x²+（k+1）x+k=0有兩個(gè)不等實(shí)根x₁、x₂．
（1）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程兩實(shí)根x₁、x₂滿足x₁=2x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則應(yīng)有△=b²-4ac≥0，故計(jì)算方程的根的判別式即可證明方程根的情況；  
（2）利用因式分解法，解得一元二次方程x²+（k+1）x+k=0的兩個(gè)根，再根據(jù)條件x₁=2x₂解得k．

解答 解：（1）∵方程x²+（k+1）x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（k+1）²-4k
=k²-2k+1=（k-1）²
∵無論k取何值，（k-1）²為非負(fù)數(shù)，
即△≥0，
∴方程有x²+（k+1）x+k=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）∵x²+（k+1）x+k=0
∴（x+k）（x+1）=0
∴x=-k或x=-1，
若x₁=-k，則x₂=-1，
∵x₁=2x₂，
∴-k=2×（-1）
∴k=2；
若x₁=-1，則x₂=-k，
∵x₁=2x₂，
∴-1=2×（-k）
∴k=$\frac{1}{2}$；
綜上所述，k=2或$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，利用根的判別式和因式分解法解一元二次方程是解答此題的關(guān)鍵．