Question

（本題滿分12分）問題解決

（1）如圖（1），將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕MN．當時，求的值．

類比歸納

（2）在圖（1）中，若則的值等于 ；若則的值等于 ；若（為整數），則的值等于 ．（用含的式子表示）

聯系拓廣

（3）如圖（2），將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕MN，設（），，則的值等于 ．

（用含的式子表示）

 

 

Answer 1

（1）；（2），，；（3）．

【解析】

試題分析：如圖（1﹣1），連接BM，EM，BE．由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱．由軸對稱的性質知MN垂直平分BE．有BM=EM，BN=EN．由于四邊形ABCD是正方形，則有∠A=∠D=∠C=90°，設AB=BC=CD=DA=2．由得，CE=DE=1；設BN=x，則NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，由勾股定理知NE2=CN2+CE2．即x2=（2﹣x）2+12可解得x的值，從而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，有AM2+AB2=DM2+DE2．

設AM=y，則DM=2﹣y，y2+22=（2﹣y）2+12可求得y的值，得到AM的值從而得到；

（2）先算當（為整數）時， 的值，然后代入即可得到n=3，n=4時，的值；

（3）先用含m，n代數式表示出AM，BN，然后求出的值即可．

試題解析：（1）如圖（1﹣1），連接BM，EM，BE．

由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱，∴MN垂直平分BE，

∴BM=EM，BN=EN，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，設AB=BC=CD=DA=2．

∵，∴CE=DE=1．

設BN=x，則NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，．

∴，解得，即BN=．

在Rt△ABM和在Rt△DEM中，，，

∴．

設AM=y，則DM=2﹣y，

∴，解得：，即AM=，∴．

（2）如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，連接BE，，

不妨令CD=CB=n，則CE=1，設BN=x，則EN=x，，，；

作MH⊥BC于H，則MH=BC，

又點B，E關于MN對稱，則MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，則△EBC≌△NMH，

∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=，則：．

故當，則的值等于；若，則的值等于；

（3）若四邊形ABCD為矩形，連接BE，，不妨令CD=n，則CE=1；

又，則BC=mn，同樣的方法可求得：BN=，

BE⊥MN，易證得：△MHN∽△BCE．故，，

HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，

故．

考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．矩形的性質；3．正方形的性質．