Question

5．如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF給出下列四個結論：
①AP=EF；②∠PFE=∠BAP；③△APD一定是等腰三角形；④AP⊥EF．
其中，正確結論的序號是①②④．（多選不得分）

Answer 1

分析 證明△ANP≌△FPE，即可證得①④是正確的，根據三角形的內角和定理即可判斷②正確；根據P的任意性可以判斷③不正確．

解答 解：延長FP交AB于點N，延長AP交EF于點M．
∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四邊形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，
∴AN=PF
在△ANP與△FPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{NP=EP}&{\;}\\{∠ANP=∠EPF}&{\;}\\{AN=PF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①④正確；
△APN與△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，
故②正確；
P是BD上任意一點，因而△APD是等腰三角形不一定成立，
故③錯誤；
故答案為：①②④．

點評 本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．