Question

（本題12分）如圖①所示，直線L：與軸負半軸、軸正半軸分別交于A、B兩點。

（1）當OA=OB時，試確定直線L的解析式；

（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設Q為AB延長線上一點，作直線OQ，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，試說明MN=AM+BN。

（3）當取不同的值時，點B在軸正半軸上運動，分別以OB、AB為邊，點B為直角頂點在第一、二象限內作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交軸于P點，如圖③。

問：當點B在 y軸正半軸上運動時，試猜想PB的長是否為定值，若是，請求出其值，若不是，說明理由。

Answer 1

（1）y=x+5 （2）7 （3）

【解析】

試題分析：（1）由直線L解析式，求出A與B坐標，根據OA=OB，求出m的值，即可確定出直線L解析式；

（2）由OA=OB，對頂角相等，且一對直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用對應線段相等求長度；

（3）如圖，作EK⊥y軸于K點，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形對應邊相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，尋找相等線段，并進行轉化，求PB的長．

試題解析： 【解析】
（1）∵直線L：y=mx+5m，

∴A（-5，0），B（0，5m），

由OA=OB，

得5m=5，m=1，

∴直線解析式為：y=x+5；

（2）在△AMO和△OBN中，

，

∴△AMO≌△ONB（AAS），

∴AM=ON=4，

∴BN=OM=3，

則MN=OM+ON=4+3=7；

（3）如圖，作EK⊥y軸于K點，

∵△ABE為等腰直角三角形，

∴AB=BE，∠ABE=90°，

∴∠EBK+∠ABO=90°，

∵∠EBK+∠BEK=90°，

∴∠ABO=∠BEK，

在△AOB和△BKE中，

，

∴△AOB≌△BKE（AAS），

∴OA=BK，EK=OB，

∵△OBF為等腰直角三角形，

∴OB=BF，

∴EK=BF，

在△EKP和△FBP中，

，

∴△PBF≌△PKE（AAS），

∴PK=PB，

∴PB=BK=OA=．

考點：一次函數的解析式，一次函數的圖像與性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質