Question

7．如圖1，若分別以△ABC和AC、BC兩邊為直角邊向外側作等腰直角△ACD、△BCE，則稱這兩個等腰直角三角形為外展雙葉等腰直角三角形．
（1）發現：如圖2，當∠ACB=90°，求證：△ABC與△DCE的面積相等．
（2）引申：如果∠ACB≠90°時．（1）中結論還成立嗎？若成立，請結合圖1給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）運用：①如圖3，分別以△ABC的三邊為邊向外側作四邊形ABED、BCFG和ACIH為正方形，則稱這三個正方形為外展三葉正方形．已知△ABC中，AB=4，BC=3，當△ABC滿足∠ACB=90°時，圖中△ADH、△BEF、△CGI的面積和有最大值是18②如圖4，在△ADH、△BEF、△CGI的面積和取最大值時，試寫出S_△DEF、S_△GFE、S_{正方形AHIC}三者之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）先證明∠DCE=90°，然后依據SAS證明△DCE≌△ACB，由全等三角形的性質可得到△ABC與△DCE的面積相等．
（2）過點A作AG⊥BC，過點D作DF⊥CE，垂足為F．先依據AAS證明△DCF≌△ACG，依據全等三角形的性質FD=AG，由等腰三角形的定義可知CE=CB，最后依據三角形的面積公式證明即可；
（3）①由（2）可知：S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI=3S_△ABC，故此當∠ACB=90°，時S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI有最大值；②由①可知當∠ACB=90°，然后根據題意畫出圖形，接下來，證明點E、B、C在同一條直線上，從而可將△DEF的面積用含AB的式子表示，同理可將△EFG的面積用含BC的式子表示，最后在△ABC中，依據勾股定理進行解答即可．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵△ACD和△BCE均為等腰直角三角形，
∴DC=AC，CE=CB，∠ACD=∠BCE=90°．
∵∠ACB=∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠DCE=90°．
在△DEC和△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=AC}\\{∠ACB=∠DCE}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△ACB．
∴△ABC與△DCE的面積相等．
（2）成立．
理由：如圖2所示：過點A作AG⊥BC，過點D作DF⊥CE，垂足為F．

∵△ACD和△BCE均為等腰直角三角形，
∴∠DCA=∠ECB=∠FCB=90°，DC=AC，CE=CB．
∵FE⊥BC，AG⊥CB，
∴FC∥AG．
∴∠FCA=∠GAC．
∵∠DCF+∠FCA=90°，∠FCA+∠ACG=90°，
∴∠DCF=∠ACG．
在△DCF和△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠CGA}\\{∠DCF=∠ACG}\\{DC=AC}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△ACG．
∴FD=AG．
又∵CE=CB．
∴$\frac{1}{2}$CE•DC=$\frac{1}{2}$CB•AG，即△ABC與△DCE的面積相等．
（3）①如圖3所示：

∵由（2）可知：S_△ADH=S_△ABC、S_△BEF=S_△ABC、S_△CGI=S_△ABC，
∴S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI=3S_△ABC．
∴當∠ACB=90°，時S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI有最大值，最大值=3×$\frac{1}{2}$×3×4=18．
故答案為：∠ACB=90°；18．
②S_△DEF+S_△EFG=$\frac{1}{2}$S_{正方形AHIC}．
理由：由①可知當∠ABC=90°時，S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI有最大值．
當∠ACB=90°時，如圖4所示：

∵四邊形ABED為正方形，
∴∠ABE=90°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠ABC=90°+90°=180°．
∴點E、B、C在一條直線上．
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$ED•AD=$\frac{1}{2}$AB²．
同理：△EFG的面積=$\frac{1}{2}$FG•CG=$\frac{1}{2}$CB²．
∵AC²=AB²+BC²，
∴S_△DEF+S_△EFG=$\frac{1}{2}$AB²+$\frac{1}{2}$CB²=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{1}{2}$S_{正方形AHIC}．
∴S_△DEF+S_△EFG=$\frac{1}{2}$S_{正方形AHIC}．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了等腰直角三角形的性質、正方形的性質、全等三角形的性質和判定、三角形的面積公式、勾股定理的應用，掌握本題的輔助線的作法是解答本題（2）的關鍵；明確當∠ACB=90°，時S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI有最大值是解答問題（3）的關鍵．