Question

11．已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如圖1，當(dāng)點O、A、C在同一條直線上時，∠BOD的度數(shù)是60°；
（2）將∠COD從圖1的位置開始，繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°（即∠AOC=n°），且0＜n＜180．
①如果∠COD的一邊與∠AOB的一邊垂直，則n=60、90、150．
②當(dāng)60＜n＜90時（如圖2），作射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD，試求∠MON的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°，而∠AOD=∠COD=30°，代入即可求出結(jié)論；
（2）①在旋轉(zhuǎn)的過程中，能夠發(fā)現(xiàn)∠COD的一邊與∠AOB的一邊垂直共有三種情況，分別求出每種情況下旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即可；
②根據(jù)角與角之間的關(guān)系，將直接求∠MON得度數(shù)轉(zhuǎn)換成求∠AOM，∠DON的度數(shù)，再依照角的關(guān)系即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）∠BOD=∠AOB-∠AOD=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°．
故答案為：60°．
（2）①∵0＜n＜180，
∴分三種情況．
a：點D在射線0B上，∠AOC=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°；
b：點C在射線OB上，∠AOC=∠AOB=90°；
c：點D在AO的延長線上，∠AOC=180°-∠COD=180°-30°=150°．
綜上得n為60、90、150．
故答案為：60、90、150．
②∵∠AOC=n°，OM平分∠AOC，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$n°，
∠AOD=∠AOC+∠COD=n°+30°，
∠BOD=∠AOD-∠AOB=n°+30°-90°=n°-60°，
∵ON平分∠BOD，
∴∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×（n°-60°）=$\frac{1}{2}$n°-30°，
∠MON=∠AOD-∠AOM-∠DON=n°+30°-$\frac{1}{2}$n°-（$\frac{1}{2}$n°-30°）=60°

點評 本題考查了角的計算，解題的關(guān)鍵是依照題意找到角與角的關(guān)系，列對關(guān)系式．