Question

20．如圖，已知四邊形BCNM是平行四邊形，分別以M，N為圓心，以MB，NC為半徑作圓，⊙M交BC于E，AB為⊙M的直徑，連接AE交MN于F，過C點作MN的垂線MN于G，交⊙N于D，連接DN．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）已知：AB：MN=5：7
①若tanB=0.75，求證：四邊形ADCE是正方形；
②若四邊形ADCE是正方形，那么tanB一定等于0.75嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形ECGF是矩形，再證明四邊形AFGD是矩形，即可解決問題．
（2）①由AB：MN=5：7，可以假設AB=5k，MN=7k，則NM=BC=7k，在Rt△ABE中，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，設AE=3x，BE=4x，可得（3x）²+（4x）²=（5k）²，推出x=k，推出AE=3k，BE=4k，推出EC=BC-BE=7k-4k=3k，推出AE=EC，由此即可解決問題．
②不一定．因為四邊形AECD是正方形，設AE=EC=a，在Rt△ABE中，由AB²=AE²+BE²，可得（5k）²=a²+（7k-a）²，推出a=3k或a=4k，當a=3k時，AE=3k，BE=4k，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$=0.75，當a=4k時，AE=4k，BE=3k，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{3}$，由此即可判斷．

解答 證明：（1）∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵四邊形BCNM是平行四邊形，
∴MN∥BC，
∴∠AFM=∠AEB=90°，
∴MF⊥AE，
∴AF=EF，
∵CD⊥MN，
∴∠CGF=∠GFE=∠FEC=90°，
∴四邊形ECGF是矩形，
∴AE∥DC，EF=CG=AF，
∵NG⊥CD，
∴DG=CG=AF，
∴四邊形AFGD是平行四邊形，
∵∠AFG=90°，
∴四邊形AFGD是矩形，
∴∠EAD=∠ADC=∠AEC=90°，
∴四邊形AECD是矩形．

（2）①∵AB：MN=5：7，
∴可以假設AB=5k，MN=7k，則NM=BC=7k，
在Rt△ABE中，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，設AE=3x，BE=4x，
∴（3x）²+（4x）²=（5k）²，
∴x=k，
∴AE=3k，BE=4k，
∴EC=BC-BE=7k-4k=3k，
∴AE=EC，
∵四邊形AECD是矩形，
∴四邊形AECD是正方形．

②不一定．理由如下，
∵AB：MN=5：7，
∴可以假設AB=5k，MN=7k，則NM=BC=7k，
∵四邊形AECD是正方形，設AE=EC=a，
在Rt△ABE中，∵AB²=AE²+BE²，
∴（5k）²=a²+（7k-a）²，
整理得a²-7ka+12k²=0，
∴（a-3k）（a-4k）=0，
∴a=3k或a=4k，
當a=3k時，AE=3k，BE=4k，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$=0.75，
當a=4k時，AE=4k，BE=3k，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴tanB的值不一定等于0.75．

點評 本題考查圓綜合題、平行四邊形的性質、矩形的判定和性質、正方形的判定和性質、勾股定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會利用參數，構建方程解決問題，體現了數形結合的數學思想，屬于中考壓軸題．