Question

10．如圖，拋物線L：y=ax²+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，3），已知對稱軸x=1
（1）求拋物線L的解析式；
（2）求拋物線上的點M在直線BC的上方，求點M到直線BC的距離的最大值；
（3）設點P是拋物線L對稱軸右側上一點，點Q在對稱軸上，是否存在以P點為直角頂點的△PBQ與△AOC相似？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對稱性可求得A（-1，0），設拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1），將點C的坐標代入可求得a的值，從而可求得拋物線的解析式；（2）過點M作MD⊥AB，交CD與點D，過點M作ME⊥CB，垂足為E．設點M的坐標為（x，-x²+2x+3），先求得直線BC的解析式，然后可得到MD與x的函數關系式，依據二次函數的性質可求得MD的最大值，從而可求得△BCM的最大值，然后依據三角形的面積公式可求得ME的最大值；
（3）連接DP，過點P作PE⊥QD，垂足為E，然后可證明點Q、P、B、D共圓，從而可證明∠PDQ=∠ACO或∠PDQ=∠CAO，設點P的坐標為（x，-x²+2x+3），則PE=x-1，DE=-x²+2x+3．接下來，依據$\frac{EP}{ED}$=$\frac{1}{3}$或$\frac{EP}{ED}$=3列出關于x的方程，從而可求得點P的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），
∴A（-1，0）．
設拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1）．
將點C的坐標代入得：-3a=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）設點M的坐標為（x，-x²+2x+3）．
設直線BC的解析式為y=kx+3，將點B的坐標代入得：3k+3=0，解得：k=-1，
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
如圖1所示：過點M作MD⊥AB，交CD與點D，過點M作ME⊥CB，垂足為E．

MD=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
所以當x=$\frac{3}{2}$時，MD有最大值$\frac{9}{4}$．
在Rt△BCO中，依據勾股定理可知BC=3$\sqrt{2}$．
∴BC•EM=DM•OB，即3$\sqrt{2}$ME=$\frac{9}{4}$×3，解得ME=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．
所以M到BC的最大距離為$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．
（3）如圖3所示：連接DP，過點P作PE⊥QD，垂足為E．

∵∠QPB=∠QDB=90°，
∴∠QPB+∠QDB=180°．
∴點Q、P、B、D共圓．
∴∠PBQ=∠PBQ．
∵以P點為直角頂點的△PBQ與△AOC相似，
∴∠PBQ=∠ACO或∠PBQ=∠CAO．
∴∠PDQ=∠ACO或∠PDQ=∠CAO．
設點P的坐標為（x，-x²+2x+3），則PE=x-1，DE=-x²+2x+3．
∵當∠PDQ=∠ACO時，tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EP}{ED}$=$\frac{x-1}{-{x}^{2}+2x+3}$=$\frac{1}{3}$，解得：x=2或x=-3（舍去）
所以點P的坐標為（2，3）．
當∠PDQ=∠CAO時，tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=3，
∴$\frac{EP}{ED}$=$\frac{x-1}{-{x}^{2}+2x+3}$=3，解得：x=$\frac{5+\sqrt{145}}{6}$或x=$\frac{5-\sqrt{145}}{6}$（舍去）．
∴點P的坐標為（$\frac{5+\sqrt{145}}{6}$，$\frac{\sqrt{145}-1}{18}$）．
同理：當點P在第象限時，$\frac{EP}{ED}$=3或$\frac{EP}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
當$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x-3}$=3時，解得：x=$\frac{7+\sqrt{145}}{6}$
∴P的坐標為（$\frac{7+\sqrt{145}}{6}$，-$\frac{\sqrt{145}+1}{18}$）．
當$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x-3}$=$\frac{1}{3}$時，解得x=0（舍去）或x=5．
∴點P的坐標為（5，-12）．
綜上所述點P的坐標為（2，3）或（$\frac{5+5\sqrt{5}}{6}$，$\frac{5\sqrt{5}-1}{18}$或（5，-12）或（$\frac{7+\sqrt{145}}{6}$，-$\frac{\sqrt{145}+1}{18}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了二次函數的性質、相似三角形的性質，用含x的式子表示出相關線段的長度是解題的關鍵．