Question

18．如圖，點A（2，6）和點B（點B在點A的右側）都在反比例函數的圖象上，點C在y軸上，BC∥x軸，tan∠ACB=2，二次函數的圖象經過A、B、C三點．
（1）求反比例函數和二次函數的解析式；
（2）如果點D在x軸的正半軸上，點E在反比例函數的圖象上，若以A，C，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）設反比例函數的解析式為y=$\frac{k}{x}$，由A的坐標可求出k的值，作AM⊥BC，垂足為M，交y軸于N，利用已知條件求出點B的坐標（6，2）再設二次函數的解析式為y=ax²+bx+2，把A和B的坐標代入求出a和b的值即可求出二次函數的解析式；
（2）當AC為邊時，延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，利用已知條件可證明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性質可得：EH=AM=4，DH=CM=2，進而求出點E（3，4），所以OE=3，OD=OE-DH=1，利用勾股定理即可求出CD的長；當AC為對角線時，可設D（t，0），由A、C坐標可求得線段AC的中點，則可用t表示出E點坐標，代入反比例函數解析式可求得t的值，則可求得點D的坐標，利用勾股定理可求得CD的長．

解答 解：（1）設反比例函數的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∵點A（2，6）在反比例函數的圖象上，
∴6=$\frac{k}{2}$，
∴k=12，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{12}{x}$，
作AM⊥BC，垂足為M，交x軸于N，如圖1，

∴CM=2．
在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，
∵BC∥x軸，OC=MN=AN-AM=6-4=2，
∴點C的坐標（0，2）．
當x=2時，y=6，
∴點B的坐標（6，2）
設二次函數的解析式為y=ax²+bx+2，
則$\left\{\begin{array}{l}{6=4a+2b+2}\\{2=36a+6b+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故二次函數的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+2；
（2）分AC為邊和AC為對角線兩種情況．
①當AC為邊時，延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，

∵在平行四邊形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO=∠EDH，
∵BC∥x軸，
∴∠ACM=∠AGO，
∴∠ACM=∠EDH．
在△ACM和△EDH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠EHD}\\{∠MCA=∠HDE}\\{AC=DE}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△EDH（AAS），
∴EH=AM=4，DH=CM=2．
∵E點縱坐標為4，點E在反比例函數y=$\frac{12}{x}$圖象上，
∴x=3，
∴點E（3，4），
∴OH=3，OD=OH-DH=1，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
②當AC為對角線時，設D（t，0），
∵A（2，6），C（0，2），
∴線段AC的中點為（1，4），
∵四邊形AECD為平行四邊形，
∴線段DE的中點也為（1，4），
∴E點坐標為（2-t，8），
∵點E在反比例函數圖象上，
∴8（2-t）=12，t=$\frac{1}{2}$，
∴D（$\frac{1}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
綜上可知CD的長為$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、三角函數的定義、平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、方程思想及分類討論思想．在（1）中求得B、C的坐標是解題的關鍵，在（2）中分兩種情況分別求得D點坐標是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．