Question

15．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過點S（0，6）和點T（8，6），ST的垂直平分線交拋物線于點B．交x軸交于點C，以BC為直徑作⊙P，交y軸于點A，M（點A在點M的下方）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求出點A的坐標；
（3）如圖2，在射線AB上有一動點D，在直線BC上有一動點E，若△ACD的重心為F，且以點A，F(xiàn)，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）把S（0，6）和點T（8，6）的坐標代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c，轉(zhuǎn)化為解方程組即可．
（2）如圖1中，作AH⊥BC于H，則四邊形OAHC是矩形，OA=HC，AH=OC．首先證明點B是拋物線的頂點，B（4，10），C（4，0），設(shè)OA=HC=x，再證明△AHC∽△BHC，可得AH²=CH•BH，即16=x（10-x），解方程即可解決問題．
（3）如圖2中，延長AF交CD于N，連接AE、CD．首先求出直線AB的解析式為y=2x+2，設(shè)D（m，2m+2），由F是△ADC的內(nèi)心，推出點N是CD的中點，推出N（m+2，m+1），推出AF=2FN，推出點F的橫坐標為$\frac{2}{3}$（m+2），因為四邊形ADEN是平行四邊形，所以線段DF的中點的橫坐標與線段AE的中點的橫坐標相同，都是2，可得$\frac{m+\frac{2}{3}（m+2）}{2}$=2，解得m=$\frac{8}{5}$，再想辦法求出點F的坐標即可解決問題．

解答 解：（1）把S（0，6）和點T（8，6）的坐標代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=6}\\{-16+8b+c=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+2x+6，．

（2）如圖1中，作AH⊥BC于H，則四邊形OAHC是矩形，OA=HC，AH=OC．

∵S、T關(guān)于對稱軸x=4對稱，BC垂直平分線段ST，
∴點B是拋物線的頂點，B（4，10），C（4，0），設(shè)OA=HC=x
∵BC是直徑，
∴∠BAC=∠AHB=90°，
∴∠CAH+∠BAH=90°，∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠CAH=∠ABH，∵∠AHC=∠AHB=90°，
∴△AHC∽△BHC，
∴AH²=CH•BH，
∴16=x（10-x），
解得x=2或8（舍棄），
∴點A坐標（0，2）．

（3）如圖2中，延長AF交CD于N，連接AE、CD．

∵A（0，2），B（4，10），
∴直線AB的解析式為y=2x+2，設(shè)D（m，2m+2），
∵F是△ADC的重心，
∴點N是CD的中點，
∴N（m+2，m+1），
∵AF=2FN，
∴點F的橫坐標為$\frac{2}{3}$（m+2），
∵四邊形ADEN是平行四邊形，
∴線段DF的中點的橫坐標與線段AE的中點的橫坐標相同，都是2，
∴$\frac{m+\frac{2}{3}（m+2）}{2}$=2，
解得m=$\frac{8}{5}$，
∴D（$\frac{8}{5}$，$\frac{26}{5}$），N（$\frac{18}{5}$，$\frac{13}{5}$），
∴直線AN的解析式為y=$\frac{1}{6}$x+2，
∴F（$\frac{12}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴AF=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}-2）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{37}}{5}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的重心、中點坐標公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用此時想辦法構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．