Question

20．如圖，拋物線y=x²+bx+c過點A（3，0），B（1，0），交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從點C沿拋物線向A點運動（運動到A點停止），過點P作PD∥y軸交直線AC于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求對稱軸上一點M的坐標，使MC+MD最短；
（3）點P在運動過程中，△APD 能否與△AOC相似？若能，求出點P的坐標，若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（3，0），B（1，0）的坐標代入y=x²+bx+c，轉化為解方程組即可．
（2）如圖1中，作點C關于對稱軸的對稱點C′，過點C′作C′D′⊥AC．求出D′的坐標，因為MC+MD=MC′+MD，根據垂線段最短可知，當點M、點D與D′重合時，MC+MD最短，由此即可解決問題．
（3）分兩種情形①當點P與B重合時，因為PD∥CO，所以△APD∽△AOC，此時P（1，0）．②當P′A⊥AC時，因為∠AD′P′=∠ACO，∠P′AF′=∠AOC，所以△P′AD′∽△AOC，
求出直線AP′的解析式，構建方程組即可解決問題．

解答 解：（1）把A（3，0），B（1，0）的坐標代入y=x²+bx+c
得$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{1+b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．

（2）如圖1中，作點C關于對稱軸的對稱點C′，過點C′作C′D′⊥AC．

∵直線AC的解析式為y=-x+3，C′（4，3），
∴直線C′D′的解析式為y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴D′（2，1），
∵MC+MD=MC′+MD，
根據垂線段最短可知，當點M、點D與D′重合時，MC+MD最短，
∴當M（2，1）時，MC+MD最短．

（3）能．理由如下，
如圖2中，

①當點P與B重合時，∵PD∥CO，
∴△APD∽△AOC，
此時P（1，0）．
②當P′A⊥AC時，∵∠AD′P′=∠ACO，∠P′AF′=∠AOC，
∴△P′AD′∽△AOC，
此時直線AP′的解析式為y=x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴P′（2，-1），
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（1，0）或（2，-1）．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、垂線段最短、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用對稱，根據垂線段最短解決最短問題，學會用分類討論的思想思考問題，所以中考壓軸題．