Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點O作OM∥BC，交AC于點M．

（1）求∠AMO；

（2）延長OM交⊙O于點E，過E作⊙O的切線，交BC延長線于點F，連接FM，并延長FM交AB于點G．

①試判斷四邊形CFEM的形狀，并說明理由；

②若AG=2，CM=3，求四邊形CFEM的面積．

　

Answer 1

【考點】圓的綜合題．

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同位角相等即可解決問題．

（2）①先證明四邊形CFEM是平行四邊形，再證明有一個角為90°即可．

②連接AE，只要證明OG=OM，即可得到EM=AG，即可解決問題．

【解答】解：（1）∵AB為直徑，

∴∠BCA=90°，

∵OM∥BC，

∴∠AMO=∠BCA=90°．

（2）①四邊形CMEF為矩形，理由如下：

∵EF與⊙O相切于點E，

∴∠OEF=90°，

∵∠OMA=∠OMC=∠OEF=90°，

∴EF∥MC，

∵OM∥BC，

∴EM∥FC，

∴四邊形CMEF為平行四邊形，

∵∠OEF=90°，

∴四邊形CMEF為矩形．

②解：連接AE，

∵O為AB的中點，OM∥BC

∴M為AC的中點，即有CM=AM，

∵四邊形CMEF是矩形，

∴AM=CM=EF，

又∵AC∥EF，

∴AMFE為平行四邊形，

∴FM∥AE，即GM∥AE，

∴∠OMG=∠OEA，∠OGM=∠OAE

∵OE=OA

∴∠OEA=∠OAE，

∴∠OMG=∠OGM，

∴OM=OG

∵OE=OM+ME=OA=OG+GA，

∴ME=GA=2，

∴矩形CMEF的面積為：CM×ME=3×2=6．

【點評】本題考查圓的有關(guān)知識、等腰三角形的判定好性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是平行四邊形AEFM的發(fā)現(xiàn)，需要靈活應用這些知識，屬于中考常考題型．