Question

如圖，點A是以BC為直徑的⊙O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連結CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P，且FG=FB=3．則以下四個結論：①BF=EF；②PA⊥OA；③tan∠P=；④OC=3，上述結論中正確的有　　　　　　（填番號）．

　

Answer 1

①②④　（填番號）．

 

【考點】圓的綜合題．

【分析】①正確，根據(jù)AD∥EB得即可證明．②正確，只要證明∠FAB+∠OAB=90°即可．③錯誤，求出AH，F(xiàn)H，根據(jù)tan∠P=tan∠AFH===，即可解決問題．④正確，在RT△ADO中利用勾股定理即可求出半徑．

【解答】解：如圖連接AO、AB、BG作FH⊥AD于H，

∵EB是切線，AD⊥BC

∴∠EBC=∠ADC=90°，

∴AD∥EB，

∴，

∵AG=GD，

∴EF=FB故①正確，

∵BC是直徑，

∴∠BAC=∠BAE=90°，∵EF=FB，

∴FA=FB=FE=FG=3，

∴∠FAB=∠FBA，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠FBA+∠ABO=90°，

∴∠FAB+∠OAB=90°，

∴PA是⊙O的切線，故②正確．

∵FA=FG，F(xiàn)H⊥AG，

∴AH=HG，

∵∠FBD=∠BDH=∠FHD=90°，

∴四邊形FBDH是矩形，

∴FB=DH=3，

∵AG=GD，

∴AH=HG=1，GD=2，F(xiàn)H==2，

∵FH∥PD，

∴∠AFH=∠APD，

∴tan∠P=tan∠AFH===，故③錯誤，

設半徑為r，在RT△ADO中，∵AO²=AD²+OD²，

∴r²=4²+（r﹣2）²，

∴r=3故④正確，

故答案為①②④．

【點評】本題考查圓的有關知識、平行線分線段成比例定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是添加常用輔助線，體現(xiàn)了轉化的思想，把問題轉化為方程解決，屬于中考壓軸題．