Question

4．如圖，等邊△ABC中，點D是AB上一點，點E在線段CD延長線上，以BE為一邊且在BE的左側(cè)作等邊△BEF，連接AF．
（1）求證：AF=CE；
（2）若線段AF，CE交于點M，連接MB，求證：MB平分∠FMC；
（3）若AB=6，點D為AB中點，且線段AF經(jīng)過點E，求此時BF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BF=BE，AB=BC，∠EBF=∠ABC=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過B作BG⊥AF，BH⊥CE，推出△ABG≌△CBH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BG=BH，于是得到MB平分∠FMC；
（3）如圖2，由（1）證得△ABF≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAF=∠BCE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BCD=30°，求得∠BAF=30°推出∠ABF=90°，于是得到結(jié)論．

解答 （1）∵△ABC與△BEF是等邊三角形，
∴BF=BE，AB=BC，∠EBF=∠ABC=60°，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF與△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{∠ABF=∠CBE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE；
（2）如圖1，過B作BG⊥AF，BH⊥CE，
∴∠AGB=∠CHB=90°，
∵△ABF≌△CBE，
∴∠BAG=∠BCH，
在△ABG與△CBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠CHB}\\{∠BAG=∠BCH}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBH，
∴BG=BH，
∴MB平分∠FMC；
（3）如圖2，由（1）證得△ABF≌△CBE，∴∠BAF=∠BCE，∵點D為AB中點，∴∠BCD=30°，∴∠BAF=30°，∵∠ADE=∠CBD=90°，
∴∠AED=60°，∵∠FEB=60°，
∴∠BED=60°，∴∠EBD=30°，∴∠ABF=90°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．