Question

12．如圖，拋物線的頂點是原點，拋物線經過A點（8，-8），F點坐標為（0，-2），直線l為y=2，直線l平行于x軸．P點是拋物線上任意一點，過P點作PM⊥l，垂足為M點．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）求證：∠PFM=∠PMF；
（3）當三角形MPF是等腰直角三角形時，求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可直接求得二次函數的解析式；
（2）設P的坐標是（x，-$\frac{1}{8}$x²），利用x表示出PM和PF的長，證明PM=PF，根據等邊對等角即可證得；
（3）當△MPF是等腰直角三角形時，根據PM=PF即可列方程求得P的橫坐標．

解答 （1）解：∵二次函數的頂點是原點，
∴設二次函數的解析式是y=ax²，
∴將點A（8，-8）代入得a=-$\frac{1}{8}$，
則二次函數的解析式是y=-$\frac{1}{8}$x²；
（2）證明：∵點P在拋物線y=-$\frac{1}{8}$x²上，
∴設P的坐標是（x，-$\frac{1}{8}$x²），
過點P作PB⊥y軸于點B．
則BF=-2-（-$\frac{1}{8}$x²）=$\frac{1}{8}$x²-2，PB=x．
∴直角△BPF中，PF=$\sqrt{（\frac{1}{8}{x}^{2}-2）^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{1}{8}$x²+2．
∵PM⊥直線y=2，
∴PM=$\frac{1}{8}$x²+2，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF；
（3）解：當△MPF是等腰直角三角形時，
PF⊥PM，PF=PM．
設P的橫坐標是x，則2-（-$\frac{1}{8}$x²）=x，
解得：x=4，
則P的坐標是（4，-2）．
同理，當P第三象限時，坐標是（-4，-2）．
總之，P的坐標是（4，-2）或（-4，-2）．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及等腰三角形的性質，正確利用P的橫坐標表示出PM和PF的長是關鍵．