Question

4．如圖，在△AOB中，∠BOA=90°，∠BOA的兩邊分別與函數$y=-\frac{1}{x}$、$y=\frac{2}{x}$的圖象交于B、A兩點，若$AB=\sqrt{6}$，則AO的值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．根據條件得到△ACO∽△ODB，得到$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²=2，根據勾股定理得出OA²+$\frac{1}{2}$OA²=6，即可求得OA．

解答 解：∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠CAO=90°，
∠CAO=∠BOD，
∴△ACO∽△BDO，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，S_△BOD=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∴（$\frac{OA}{OB}$）²=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴OA²=2OB²，
∵OA²+OB²=AB²，
∴OA²+$\frac{1}{2}$OA²=6，
∴OA=2，
故選B．

點評 本題考查了反比例函數y=$\frac{k}{x}$，系數k的幾何意義，相似三角形的判定和性質，勾股定理的應用，能夠通過三角形系數找出OA和OB的關系是解題的關鍵．