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4.如圖,在△AOB中,∠BOA=90°,∠BOA的兩邊分別與函數$y=-\frac{1}{x}$、$y=\frac{2}{x}$的圖象交于B、A兩點,若$AB=\sqrt{6}$,則AO的值為(  )
A.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$B.2C.$\sqrt{3}$D.$\sqrt{2}$

分析 過點A,B作AC⊥x軸,BD⊥x軸,分別于C,D.根據條件得到△ACO∽△ODB,得到$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=($\frac{OA}{OB}$)2=2,根據勾股定理得出OA2+$\frac{1}{2}$OA2=6,即可求得OA.

解答 解:∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠CAO=90°,
∠CAO=∠BOD,
∴△ACO∽△BDO,
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=($\frac{OA}{OB}$)2
∵S△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1,S△BOD=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$,
∴($\frac{OA}{OB}$)2=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2,
∴OA2=2OB2
∵OA2+OB2=AB2
∴OA2+$\frac{1}{2}$OA2=6,
∴OA=2,
故選B.

點評 本題考查了反比例函數y=$\frac{k}{x}$,系數k的幾何意義,相似三角形的判定和性質,勾股定理的應用,能夠通過三角形系數找出OA和OB的關系是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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在數軸上表示下列各數的點與表示-1的點距離最近的是( )

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