Question

15．如圖，AB為⊙O的直徑，點D在⊙O上，DH⊥AB于H，現將△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于點C，連接OC交AD于點G．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若AB=10，∠DAB=30°，連接BD，請寫出求BD長的解題思路．

Answer 1

分析 （1）連接半徑，由同圓的半徑相等得：OA=OD，利用等邊對等角可知：∠OAD=∠ODA，利用翻折的性質可知：：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，證OD∥AE，得∠ODE=90°，所以DE與⊙O相切；
（2）先證明△OAC是等邊三角形，再證明OG∥BD，根據中位線定理可知：BD=2OG=5．

解答 證明：（1）連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，
∴∠ODA=∠EAD，
∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE=180°，
∴∠ODE=90°，
∴DE與⊙O相切；
（2）①∠OAD=∠EAD=30°⇒∠OAC=60°⇒△OAC是等邊三角形⇒∠AOG=60°，
②∠AOC=60°，∠OAD=30°⇒∠AGO=90°⇒OG=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{5}{2}$，
③AB是直徑⇒∠ADB=90°⇒OG∥BD⇒BD=2OG=5．

點評 本題考查了切線的判定、平行線的性質和判定、翻折的性質、等邊三角形的性質和判定，在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，并熟練掌握等邊三角形的性質和判定，明確翻折前后的兩條邊和角相等．