Question

14．如圖：在四邊形ABCD中，BC＞DA，AD=DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求證：
（1）∠DAB+∠C=180° 
（2）BH=$\frac{1}{2}$（AB+BC）

Answer 1

分析 （1）過D作DE⊥AB，交BA延長線于E，由角平分線的性質得出DH=DE，由HL證得Rt△ADE≌Rt△CDH，得出對應角相等，即可得出結論；
（2）由HL證得Rt△BDE≌Rt△BDH，得出BE=BH，再由Rt△ADE≌Rt△CDH，得出AE=CH，即可得出結論．

解答 證明：（1）過D作DE⊥AB，交BA延長線于E，如圖所示：
∵BD平分∠ABC，DH⊥BC，
∴DH=DE，
在Rt△ADE和Rt△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=DE}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），
∴∠C=∠DAE，
∵∠DAB+∠DAE=180°，
∴∠DAB+∠C=180°；
（2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），
∴BE=BH，
∵Rt△ADE≌Rt△CDH，
∴AE=CH，
∴AB+BC=AB+BH+CH=BE+BH=2BH，
∴BH=$\frac{1}{2}$（AB+BC）．

點評 本題考查了角平分線的性質、全等直角三角形的判定與性質等知識，熟練掌握全等直角三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．