Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P以1cm/s的速度從A開始沿著折線AB-BC運動到點C，點D在AC上，連接BD，PD，設點P的運動時間為t秒；
（1）直接寫出AB的長度；
（2）把△BCD沿著BD對折，點C恰好落在AB上的點E處，求此時CD的長；
（3）若點D在（2）中的位置，當t為幾秒時，△BPD為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）直接根據勾股定理求出AB的長即可；
（2）根據點C恰好落在AB上的點E處可得出△BCD≌△BED，故BC=BE，由此可得出AE的長，利用勾股定理求出DE的長即可；
（3）分∠BDP=90°與∠BED=90°兩種情況進行分類討論即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm；

（2）∵點C恰好落在AB上的點E處，
∴△BCD≌△BED，
∴BC=BE=6cm，CD=DE=x，
∴AE=10-6=4cm．
設CD=DE=x，則AD=8-x，
在Rt△ADE中，
∵AE²+DE²=AD²，即4²+x²=（8-x）²，解得x=3cm．
答：此時CD的長為3cm；

（3）當∠BDP=90°時，
∵CD=3cm，BC=6cm，
∴BD²=3²+6²=45cm；
過點P作PE⊥AC于點E，設AP=t，則BP=10-t，
∵PE⊥AC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PE}{BC}$，即$\frac{AE}{8}$=$\frac{t}{10}$=$\frac{PE}{6}$，解得AE=$\frac{4}{5}$t，PE=$\frac{3}{5}$t，
∴PD=$\sqrt{{PE}^{2}+{DE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{3}{5}t）}^{2}+{（\frac{4}{5}t）}^{2}}$=t．
∵BD²+PD²=BP²，即45+t²=（10-t）²，解得t=2.75（秒）；
當∠BPD=90°且點P在AB上時，由（1）可知，此時BP=BC=6cm，
∴AP=10-6=4cm，
∴t=4（秒）；
當∠BPD=90°且點P在BC上時，點P與點C重合，故t=AB+BC=10+6=16（秒）．
綜上所述，當t=2.75秒或4秒或16秒時，△BPD為直角三角形．

點評 本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到直角三角形的性質、圖形翻折變換的性質及相似三角形的判定與性質，在解答此題時要注意進行分類討論．