Question

7．如圖：A、B兩點在直線的兩側，點A到直線的距離AM=4，點B到直線的距離BN=2，且MN=4，P為直線上的動點，|PA-PB|的最大值為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作點B于直線l的對稱點B，則PB=PB′因而|PA-PB|=|PA-PB′|，則當A，B′、P在一條直線上時，|PA-PB|的值最大．根據平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據勾股定理求得PA、PB′的值，進而求得|PA-PB|的最大值．

解答 解：作點B于直線l的對稱點B′，連AB′并延長交直線l于P．
∴B′N=BN=2，
∵AM∥B′N，
∴$\frac{PN}{PM}$=$\frac{B′N}{AM}$，
即$\frac{PN}{PN+4}$=$\frac{2}{4}$，
解得：PN=4，
PM=4+4=8，
∴PA=$\sqrt{P{M}^{2}+A{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，PB′=$\sqrt{B′{N}^{2}+P{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴|PA-PB|的最大值=2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了作圖-軸對稱變換，平行線分線段定理、勾股定理等，熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關鍵．