Question

12．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，其面積標記為S₁，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S₂，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S₂₀₁₅的值為$\frac{1}{{{2^{2012}}}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知第2個正方形的邊長是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$×2，則第3個正方形的邊長是（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$）²×2，…，進而可找出規(guī)律，第n個正方形的邊長是（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1×2，那么易求S₂₀₁₅的值．

解答 解：根據(jù)題意：第一個正方形的邊長為2；
第二個正方形的邊長為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2；
第三個正方形的邊長為：（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$）²×2，
…
第n個正方形的邊長是（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1×2，
所以S₂₀₁₅的值是（ $\frac{1}{2}$）²⁰¹²即$\frac{1}{{2}^{2012}}$．
故答案為$\frac{1}{{2}^{2012}}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是長特殊到一般，探究規(guī)律后，應用規(guī)律解決問題，屬于中考常考題型．