Question

7．y=ax²+bx+c+2的圖象如圖所示，頂點為（-1，0），下列結論
①abc＞0；②b²-4ac=0；③a＞2；④4a-2b+c＞0．
其中正確結論的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①首先根據拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據對稱軸在y軸左邊，可得b＞0；最后根據拋物線與y軸的交點在x軸的上方，可得c＞0，據此判斷出abc＞0即可．
②根據二次函數y=ax²+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，可得△=0，即b²-4a（c+2）=0，b²-4ac=8a＞0，據此解答即可．
③首先根據對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$=-1，可得b=2a，然后根據b²-4ac=8a，確定出a的取值范圍即可．
④根據對稱軸是x=-1，而且x=0時，y＞2，可得x=-2時，y＞2，據此判斷即可．

解答 解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵對稱軸在y軸左邊，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴結論①正確；

∵二次函數y=ax²+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，
∴△=0，
即b²-4a（c+2）=0，
∴b²-4ac=8a＞0，
∴結論②不正確；

∵對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵b²-4ac=8a，
∴4a²-4ac=8a，
∴a=c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴結論③正確；

∵對稱軸是x=-1，而且x=0時，y＞2，
∴x=-2時，y＞2，
∴4a-2b+c+2＞2，
∴4a-2b+c＞0．
∴結論④正確．
綜上，可得
正確結論的個數是3個：①③④．
故選C．

點評 本題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．