Question

3．如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=6-2$\sqrt{3}$，點P是BC上一動點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，則線段DE的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 當AP⊥BC時，線段DE的值最小，利用四點共圓的判定可得：A、D、P、E四點共圓，且直徑為AP，得出∠AED=∠B=45°，有一公共角，根據兩角對應相等兩三角形相似得△ADE∽△ACB，則$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{CB}$，設AD=2x，表示出AE和AB的長，求出AE與AB的比，代入比例式中，可求出DE的值．

解答 解：當AP⊥BC時，線段DE的值最小，
如圖1，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
∴∠ADP+∠AEP=180°，
∴A、D、P、E四點共圓，且直徑為AP，
在Rt△PBD中，∠B=45°，
∴△PBD是等腰直角三角形，∠APD=45°，
∴△APD也是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠PBD=∠PAD=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠AED=∠B=45°，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{CB}$，
設AD=2x，則PD=DB=2x，AP=2$\sqrt{2}$x，
如圖1，取AP的中點O，連接EO，則AO=OE=OP=$\sqrt{2}$x，
∵∠EAP=∠BAC-∠PAD=60°-45°=15°，
∴∠EOP=2∠EAO=30°，
過E作EM⊥AP于M，則EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
cos30°=$\frac{OM}{OE}$，
∴OM=$\sqrt{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AM=$\sqrt{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$x=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=（$\sqrt{3}$+1）x，
∴$\frac{（\sqrt{3}+1）x}{4x}$=$\frac{DE}{6-2\sqrt{3}}$，
∴ED=$\sqrt{3}$．
則線段DE的最小值為$\sqrt{3}$；
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了四點共圓，相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的判斷當AP⊥BC時，線段DE的值最小是解題的關鍵．