Question

如圖，在菱形ABCD中，E為邊BC的中點，DE與對角線AC交于點M，過點M作MF⊥CD于點F，∠1=∠2．

求證：（1）DE⊥BC；
（2）AM=DE+MF．

Answer 1

（1）證明∠CFM=90°，△CFM≌△CEM，推出∠CEM =90°，即DE⊥BC.
（2）延長AB交DE于點N，通過中位線性質和邊的等量代換，證明AM= MN，MN =NE+ME，ME=MF，所以AM=DE+MF.

試題分析：（1）證明垂直，可以通過證明角等于90°，或者找出等腰三角形利用三線合一，該題可以考慮通過證明角為90°；
∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠ACD，AB∥CD．
∴∠1=∠ACD．
∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2．
∴MC=MD．
∵MF⊥CD，∴∠CFM=90°，CF=CD．
∵E為BC的中點，∴CE=BE=BC．
∴CF= CE．
∵CM=CM，
∴△CFM≌△CEM．
∴∠CEM=∠CFM=90°，

即DE⊥BC．
（2）證明不相干的邊的數量關系，可以應用邊的等量代換；
延長AB交DE于點N，
∵AB∥CD，CE=BE，
∴NE=DE，∠N=∠2．
∵∠1=∠2，∴∠1=∠N．
∴AM=MN．
∵NM=NE+ME，∴AM=DE+ME．
∵ME=MF，∴AM=DE+MF．
點評：該題是常考題，主要考查學生對菱形和等腰三角形性質應用的熟練程度。