Question

20．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA，OB的中點分別為E，F(xiàn)．
（1）求證：△FOE≌△DOC；
（2）求tan∠OEF的值；
（3）若直線EF與線段AD，BC分別相交于點G，H，求$\frac{AB-CD}{GH}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)中位線的性質(zhì)得：EF∥AB，AB=2EF，則CD∥EF，由平行線的性質(zhì)得：∠ODC=∠OFE，∠OEF=∠OCD，利用ASA證明△FOE≌△DOC；
（2）分別表示出EH和CH的長，在Rt△EHC中，根據(jù)正切的定義求出結(jié)論；
（3）由（2）得結(jié)論：$GE=\frac{1}{3}CD，EF=CD，F(xiàn)H=\frac{1}{3}CD$，分別表示AB的長，代入$\frac{AB-CD}{GH}$求值．

解答 證明：（1）∵線段OA，OB的中點分別為E，F(xiàn)，
∴EF是△OAB的中位線，
∴EF∥AB，AB=2EF，
∵AB=2CD，
∴CD=EF，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠ODC=∠OFE，∠OEF=∠OCD，
在△OEF和△OCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ODC=∠OFE}\\{DC=EF}\\{∠OCD=∠OEF}\end{array}\right.$，
∴△FOE≌△DOC（ASA）；
（2）由（1）得：△FOE≌△DOC，
∴OD=OF，
∵OF=BF，
∴OF=BF=OD，
∵FH∥CD，
∴△BFH∽△BDC，
∴$\frac{FH}{CD}=\frac{BF}{BD}$=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴FH=$\frac{1}{3}$CD，
∵EH=$EF+FH=CD+\frac{1}{3}CD=\frac{4}{3}CD$，
$CH=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}CD$，
在Rt△EHC中，$tan∠OEF=\frac{CH}{EH}=\frac{{\frac{2}{3}CD}}{{\frac{4}{3}CD}}=\frac{1}{2}$；
（3）由（2）得：$GE=\frac{1}{3}CD，EF=CD，F(xiàn)H=\frac{1}{3}CD$，
∴$GH=\frac{5}{3}CD$，
又∵AB=2EF=2CD，
∴$\frac{AB-CD}{GH}=\frac{2CD-CD}{{\frac{5}{3}CD}}=\frac{3}{5}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了三角形的中位線定理，直角梯形的性質(zhì)、三角形相似和全等的性質(zhì)和判定以及三角函數(shù)的知識，在計算一個角的三角函數(shù)或求線段的和差倍商時，可以確定一個中間量，即一條線段，根據(jù)相似或全等有關(guān)邊的性質(zhì)將所有線段表示成某條線段的倍數(shù)關(guān)系，再約分即可．