Question

問題背景：△AOB、△COD是兩個等腰直角三角形，現將直角頂點以及兩直角邊都重合在一起，如圖1所示，點P是CD中點，連接BP并延長到E使PE=BP，連接EC，作平行四邊形ACEF，小林針對平行四邊形ACEF形狀進行了如下探究：

觀察操作：（1）小林先假設小等腰直角三角形的直角邊非常小，這時三角形可以看作一個點，如圖2所示，并提出猜想四邊形ACEF是　　　　　　；

猜想證明：（2）小林對比圖1和圖2的情形，完成了（1）中的猜想，請借助圖1幫他證明這個猜想．

拓展延伸：（3）如圖3所示，現將等腰直角三角形COD繞點O逆時針旋轉一定角度，其它條件都不改變，原來結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【考點】幾何變換綜合題．

【分析】（1）根據已知直接證明有一個直角且鄰邊相等即可；

（2）通過證明三角形CEP和三角形DBP全等，結合等量代換即可證明；

（3）與（2）同理可證EC=DB，EC∥DB，進一步證明△AOC≌△BOD，結合等量代換和平行線的性質即可解答．

【解答】解：（1）正方形；

如圖2，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴∠AOE=90°，AO=BO，

∵OE=BO，

∴AO=OE，

∴平行四邊形ACEF是正方形；

（2）如圖1，

∵P是CD的中點，

∴PC=PD，

在△CPE和△BPD中，

，

∴△CPE≌△BPD，

∴EC=DB，

∵OA=OB，OC=OD，

∴AC=DB，

∴EC=AC，

∴平行四邊形ACEF是菱形，

∵△CPE≌△BPD，

∴∠CEP=∠DBP，

∴EC∥OB，

∵∠O=90°，

∴∠ACE=90°，

∴菱形ACEF是正方形；

（3）如圖3，

與（2）同理可證△CPE≌△BPD，

∴EC=DB，EC∥DB，

∵∠AOC+∠COB=∠COB+∠DOB=90°，

∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD，

∵∠COD=90°，

∴△AOC可以看作△BOD順時針繞點O旋轉90°得到，

∴AC⊥DB，AC=DB，

∴EC=AC，

∴平行四邊形ACEF是菱形，

∵EC∥DB，

∴AC⊥EC，

∴菱形ACEF是正方形．

【點評】此題主要考查幾何變換中的旋轉，在旋轉中找到并證明全等三角形，并靈活運用全等三角形的性質進行推理是解題的關鍵．