Question

16．現有三張分別標有數字1、2、6的卡片，它們除了數字外完全相同，把卡片背面朝上洗勻，從中任意抽取一張，將上面的數字記為a（不放回），再從中任意抽取一張，將上面的數字記為b，這樣的數字a，b能使關于x的一元二次方程x²-2（a-3）x-b²+9=0有兩個正根的概率為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 首先用列表法或樹狀圖得到所有可能的結果，在根據滿足條件的事件數，在整理時要借助于根與系數之間的關系，根的判別式，要進行討論得到結果．

解答 解：畫樹形圖得：

∵方程有兩個正根，
∴由韋達定理得 2（a-3）＞0，-b²+9＞0，
解得a＞3，b＜3，
若b=2，9-b²=5 要使方程有兩個正根，判別式=4（a-3）²-4×5＞0 （a-3）²＞5，解得，a=6；
若b=1，9-b²=8 判別式=4（a-3）²-4×8＞0 （a-3）²＞8，解得，a=6，
∴a，b只有兩種情況滿足要求：a=6，b=1，
∴能使關于x的一元二次方程x²-2（a-3）x-b²+9=0有兩個正根的概率=$\frac{1}{6}$，
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．