Question

已知關于x的方程7x³-7（p+2）x²+（44p-1）x+2=60p（*）
①求證：不論p為何實數時，方程（*）有固定的自然數解，并求這自然數．
②設方程另外的兩個根為u、v，求u、v的關系式．
③若方程（*）的三個根均為自然數，求p的值．

Answer 1

解：①原方程整理得：（7x³-14x²-x+2）-（7x²-44x+60）p=0
解方程7x²-44x+60=0得x₁=2，x₂=，
當x=2時，7x³-14x²-x+2=0，故所求自然數為2；
②∵x=2是方程的固定解，
∴（x-2）是方程的一個因式，原方程分解為，
（x-2）（7x²-7px+30p-1）=0
∴u、v是方程7x²-7px+30p-1=0的兩根，
∴u+v=p，uv=．
③由②可知，當p=18時，方程三個根均為自然數．
分析：①把方程整理，使含p的項“系數”為0，求x的值，再代入不含p的項檢驗，可求這個自然數；
②由所求自然數值可知方程的一個因式，代入方程，再將方程分解因式，由兩根關系解題；
③在（2）的條件下，根據解為自然數，求p的值．
點評：本題考查了求高次方程固定根的方法，方程的根與系數關系，自然數解的問題．