Question

12．觀察下列等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，將這三個等式的兩邊分別相加，得$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）試猜想并寫出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）直接寫出計算結(jié)果：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）探究并計算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2016×2018}$．

Answer 1

分析 （1）觀察找出規(guī)律：左側(cè)分子為1，分母是連續(xù)自然數(shù)的積，右側(cè)被減數(shù)和減數(shù)的分子均為1，分母恰為左側(cè)的兩個自然數(shù)，由此可以寫出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，將算式寫出差的形式，計算即可；
（3）先探索當分母為連續(xù)偶數(shù)時如何寫成差的形式，再計算．

解答 解：（1）觀察找出規(guī)律：左側(cè)分子為1，分母是連續(xù)自然數(shù)的積，右側(cè)被減數(shù)和減數(shù)的分子均為1，分母恰為左側(cè)的兩個自然數(shù)，
所以：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
故答案為：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
故答案為：$\frac{n}{n+1}$．
（3）$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$），$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$），$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
所以：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2016×2018}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{252}{1009}$．

點評 此題主要考查有理數(shù)的運算和規(guī)律研究，分析已知找出運算規(guī)律并準確計算是解題的關鍵．