Question

20．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，連接BC、BD．
（1）點D的坐標是（1，4）；
（2）在拋物線的對稱軸上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點M的坐標．
（3）若點P在x軸上且位于點B右側，且點P是線段AQ的中點，連接QD，且∠BDQ=45°，求點P坐標（請利用備用圖解決問題）．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得拋物線的頂點坐標；
（2）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得PA=PB，根據兩點之間線段最短，可得P在線段BC上，根據待定系數法，可得BC的解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；
（3）根據勾股定理，可得BD的長，根據相似三角形的判定與性質，可得QN與BN的關系，根據等腰直角三角形的性質，可得DN與QN的關系，根據勾股定理，可得BQ的長，根據線段的和差，可得AQ的長，根據線段中點的性質，可得AP的長，根據線段的差，可得OP的長，可得P點坐標．

解答 解：（1）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
頂點D的坐標為（1，4）；
（2）如圖1，
連結BC，交對稱軸于點M，此時M為所求點，使得MA+MC達到最小值．
當x=0時，y=3．
∴C（0，3）．
當y=0時，-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0）．
設BC所在直線的解析式為：y=kx+3，將B點坐標代入函數解析式，得
3k+3=0，
∴k=-1，
∴BC所在直線的解析式為：y=-x+3，
當x=1時，y=2；
∴M（1，2）；
（3）如圖2，
連接QD，作QN⊥DB，交DB的延長線于N，
設對稱軸與x軸的交點為點H．
∵點D坐標是（1，4）
∴點H坐標是（1，0）
∴DH=4，BH=2，
∴在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
又∵∠QNB=∠DHB，∠QBN=∠DBH，
∴△QBN∽△DBH，
∴$\frac{QN}{DH}$=$\frac{BN}{BH}$，
∴$\frac{QN}{BN}$=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴QN=2BN．
又∵∠BDQ=45°，
∴在Rt△DNQ中，∠DQN=45°，
∴DN=QN=2BN，
∴BN=BD=2$\sqrt{5}$，
∴QN=4$\sqrt{5}$．
∴在Rt△QBN中，BQ=$\sqrt{B{N}^{2}+N{Q}^{2}}$=10． 
∵AB=4，
∴AQ=AB+BQ=14．
∴AP=$\frac{1}{2}$ AQ=7
OP=AP-AO=7-1=6，
∴P（6，0）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用配方法得出頂點坐標；利用線段垂直平分線的性質，線段的性質得出P點的位置是解題關鍵；利用相似三角形的判定與性質得出BQ與BQ的關系是解題關鍵，又利用了等腰直角三角形的性質得出QN的長，利用勾股定理得出BQ的長．