Question

15．請你自己畫圖，寫出已知，求證，證明“相似三角形對應角平分線之比等于相似比”．

Answer 1

分析 畫出圖形，寫出已知，求證，然后根據相似三角形對應角相等可得∠B=∠B₁，∠BAC=∠B₁A₁C₁，再根據角平分線的定義求出∠BAD=∠B₁A₁D₁，然后利用兩組角對應相等兩三角形相似，根據相似三角形對應邊成比例列式證明即可．

解答 已知：如圖，已知△ABC∽△A₁B₁C₁，頂點A、B、C分別與A₁、B₁、C₁對應，△ABC和△A₁B₁C₁的相似比為k，AD、A₁D₁分別是△ABC和△A₁B₁C₁的角平分線．
求證：$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$=k；
證明：∵△ABC∽△A₁B₁C₁，頂點A、B、C分別與A₁、B₁、C₁對應，
∴∠B=∠B₁，∠BAC=∠B₁A₁C₁，
∵AD、A₁D₁分別是△ABC，△A₁B₁C₁的角平分線，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B₁A₁D₁=$\frac{1}{2}$∠B₁A₁C₁，
∴∠BAD=∠B₁A₁D₁，
∴△ABD∽△A₁B₁D₁，
∴$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$，
∴$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$=k，即相似三角形對應角平分線之比等于相似比．

點評 本題考查了相似三角形的性質與判定，主要利用了相似三角形對應角相等的性質，相似三角形對應邊成比例的性質，以及兩組角對應相等兩三角形相似的判定方法，要注意文字敘述性命題的證明格式．