Question

6．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+5與x軸交于點A、點B，與y軸交于點D，在y軸負半軸有一點E，使得∠EBO=∠DBO，第一象限拋物線上有一點C，與點D關于對稱軸對稱．
（1）求直線BE解析式．
（2）在線段BE、AB上各有一動點M、N，當AM+MN最小時，過點M作y軸平行線，與拋物線交于點P，求點P的坐標．
（3）分別連接BD、OC，一動點Q從點O出發，以每秒l個單位向終點B運動，過點Q作QH⊥x軸，與直線DC交于點H，延長QH至點F，使FH=QH，以QF為斜邊，在QF右側作等腰直角三角形QFK；同時另一動點G從點B出發，以每秒2個單位向終點O運動，過點G作GI⊥x軸，與直線BD交于點I，延長GI至點J，使IJ=GI，以GI為斜邊，在GJ左側作等腰直角三角形GJR．已知一個動點停止運動，另一動點也隨之停止運動，請問當點Q運動多少秒時，兩個等腰直角三角形分別有一邊恰好落在同一直線上？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出A、B、D的坐標，由△BOD≌△BOE，推出OD=OE，推出E（0，-5），設直線BE的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{10k+b=0}\end{array}\right.$，解方程組即可解決問題．
（2）如圖1中，作點A關于直線BE的對稱點A′，連接AA′交BE于K，作A′N⊥AB于N交BE于M，此時AM+MN的值最小，想辦法切線點A的坐標即可解決問題．
（3）分三種情形討論即可①當邊FK、邊RG在同一直線上時．②當邊QK、邊RJ在同一直線上時．③當邊FQ、邊JG在同一直線上時．分別列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+5，令x=0得y=5，令y=0得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+5=0解得x=-1或10，
∴D（0，5），A（-1，0），B（10，0），
在△BOD和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠EBO}\\{BO=BO}\\{∠BOD=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△BOE，
∴OD=OE，
∴E（0，-5），
設直線BE的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{10k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直線BE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-5．

（2）如圖1中，作點A關于直線BE的對稱點A′，連接AA′交BE于K，作A′N⊥AB于N交BE于M，此時AM+MN的值最小，

∵直線AA′的解析式為y=-2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=\frac{1}{2}x-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=-\frac{22}{5}}\end{array}\right.$，
∴K（$\frac{6}{5}$，-$\frac{22}{5}$），
∵AK=KA′，
∴A′（$\frac{17}{5}$，-$\frac{44}{5}$），
∴M（$\frac{17}{5}$，-$\frac{33}{10}$），
當x=$\frac{17}{5}$時，P_y=-$\frac{1}{2}$（$\frac{17}{5}$）²+$\frac{9}{2}$×$\frac{17}{5}$+5=$\frac{363}{25}$，
∴點P坐標為（$\frac{17}{5}$，$\frac{363}{25}$）．

（3）如圖2中，延長FK交x軸于E，延長JR交x軸于P．

∵C（9，5），
∴直線OC的解析式為y=$\frac{5}{9}$x，
∵OQ=t，BG=2t，
∴HQ=$\frac{5}{9}$t，IG=t，
∵△FKQ，△RJG是等腰直角三角形，
∴∠F=∠FEQ=45°，
∴QE=QF=$\frac{10}{9}$t，PG=JG=2t，
①當邊FK、邊RG在同一直線上時，t+$\frac{10}{9}$t+2t=10，解得t=$\frac{90}{37}$，
②當邊QK、邊RJ在同一直線上時，t+4t=10，解得t=2，
③當邊FQ、邊JG在同一直線上時，t+2t=10，解得t=$\frac{10}{3}$，
綜上所述，當點Q運動$\frac{90}{37}$秒或2秒或$\frac{10}{3}$秒時，兩個等腰直角三角形分別有一邊恰好落在同一直線上．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、等腰直角三角形的性質、垂線段最短、一元一次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會構建一次函數，利用方程組求兩條直線的交點坐標，學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．