Question

10．如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，
（1）請判斷線段AE和BD的數量關系和位置關系，并證明；
（2）若已知∠AED=135°，設∠AEC=α，當△BDE為等腰三角形時，求α的度數．

Answer 1

分析 （1）根據△ACD和△BCE都是等腰直角三角形、∠ACD=∠BCE=90°，即可得出AC=DC、EC=BC，再由角的計算即可得出∠ACE=∠DCB，利用全等三角形的判定定理SAS即可證出△ACE≌△DCB，進而可得出AE=DB．延長AE，交CD于點H，交BD于點F，根據角的計算即可得出∠DFH=∠ACD=90°，從而找出AE⊥BD；
（2）根據△BCE是等腰直角三角形即可得出∠CEB=∠CBE=45°，結合∠AED=135°、∠AEC=α即可找出∠DEB=180°-α，由（1）△ACE≌△DCB可得出∠DBC=∠AEC=α，進而得出∠DBE=α-45°，再根據三角形內角和定理即可得出∠EDB=45°，分∠DEB=∠DBE、∠DEB=∠EDB以及∠DBE=∠EDB三種情況考慮△BDE為等腰三角形，代入數據求出α值，此題得解．

解答 解：（1）AE=BD且AE⊥BD，理由如下：
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，
∴AC=DC，EC=BC．
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD=90°，∠BCE=∠DCB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB．
延長AE，交CD于點H，交BD于點F，如圖1所示．
∵∠AHD=∠CHF=∠CDB+∠DFH，∠AHD=∠CAE+∠ACD，
∴∠DFH=∠ACD=90°，
∴AE⊥BD．
（2）∵△BCE是等腰直角三角形，∠BCE=90°，
∴∠CEB=∠CBE=45°，
∵∠AED=135°，∠AEC=α，
∴∠DEB=360°-∠AED-∠CEB-∠AEC=360°-135°-45°-α=180°-α．
∵△ACE≌△DCB，
∴∠DBC=∠AEC=α，
∴∠DBE=α-45°．
在△DBE中，∠EDB=180°-∠DEB-∠DBE=180°-（180°-α）-（α-45°）=45°．
△BDE為等腰三角形分三種情況：
①∠DEB=∠DBE，即180°-α=α-45°，
∴α=112.5°；
②∠DEB=∠EDB，即180°-α=45°，
∴α=135°；
③∠DBE=∠EDB，即α-45°=45°，
∴α=90°．
綜上所述：當△BDE為等腰三角形時，α的度數為112.5°、135°或90°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形以及三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．