Question

19．由方差的計算公式s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，容易得出方差的如下性質：
性質1：任何一組實數的方差都是非負實數．
性質2：若一組實數數據的方差為零，則該組數據均相等，且都等于該組數據的平均數；
請運用這兩個性質和方差計算公式，解決下面的問題：
已知x+y=2，xy-z²=1，求x+y+z的值．

Answer 1

分析 由題意，首先算出數x、y的平均數，求x、y的方差，變形代入用含z的代數式表示出方差，由非常的性質2，得到z的值是0，然后計算x+y+z．

解答 解：有x+y=2，得x、y的平均數為$\frac{x+y}{2}$=1，由xy=z²+1
所以x、y的方差為s²=$\frac{1}{2}$[（x-1）²+（y-1）²]
=$\frac{1}{2}$[x²-2x+1+y²-2y+1]
=$\frac{1}{2}$[x²+2xy+y²-2xy-2（x+y）+2]
=$\frac{1}{2}$[（x+y）²-2xy-2（x+y）+2]
=$\frac{1}{2}$[4-2z²-2-4+2]
=$\frac{1}{2}$[-2z²]
=-z²
∵s²≥0
∴-z²≥0即z²≤0
∴z=0
∴x+y+z=2+0=2．

點評 本題考查了方差的性質．解決本題的關鍵是把求值問題轉化為方差問題，利用方差的性質求解．