Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=-$\frac{1}{3}$（x-m）²+n的頂點P在直線y=-x+4上，與y軸交于點C（點P、C不與點B重合），以BC為邊作矩形BCDE，且CD=2，點P、D在y軸的同側．
（1）n=-m+4（用含m的代數(shù)式表示），點C的縱坐標是-$\frac{1}{3}$m²-m+4（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當點P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時，求拋物線對應的函數(shù)解析式；
（3）直接寫出矩形BCDE有兩個頂點落在拋物線上時m的值．

Answer 1

分析 （1）由頂點P（m，n）在y=-x+4上得n=-m+4，求得當x=0時y=-$\frac{1}{3}$m²+n即可知點C縱坐標；
（2）由矩形的性質結合CD=2知即DE與AB的交點P的坐標為（2，2），即可得答案；
（3）①點C、D在拋物線上時，由CD=2可知對稱軸為x=±1，即m=±1；②點C、E在拋物線上時，由B（0，4）和CD=2得E（-2，4），則4=-$\frac{1}{3}$（-2-m）²+（-m+4），解之可得答案．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{3}$（x-m）²+n=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$mx-$\frac{1}{3}$m²+n，
∴頂點P（m，n），
∵P在直線y=-x+4上，
∴n=-m+4，
當x=0時，y=-$\frac{1}{3}$m²+n=-$\frac{1}{3}$m²-m+4，即點C的縱坐標為-$\frac{1}{3}$m²-m+4，
故答案為：-m+4，-$\frac{1}{3}$m²-m+4；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴DE∥y軸，
∵CD=2，
∴當x=2時，y=2，即DE與AB的交點坐標為（2，2），
∴當點P在矩形BCDE的邊DE上時，拋物線的頂點P的坐標為（2，2），
∴拋物線對應的函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+2；

（3）如圖①②，點C、D在拋物線上時，由CD=2可知對稱軸為x=±1，即m=±1；

如圖③④，點C、E在拋物線上時，

由B（0，4）和CD=2得E（-2，4），
則4=-$\frac{1}{3}$（-2-m）²+（-m+4），
解得：m₁=$\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$，m₂=$\frac{-7-\sqrt{33}}{2}$，
綜上所述，m=1或-1或$\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$或$\frac{-7-\sqrt{33}}{2}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合運用能力，熟練掌握拋物線與直線相交的問題及矩形的性質是解題的關鍵．