Question

12．如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，由下列條件中的某一個就能推出△ABC是等腰三角形的是①或②或③或④．（把所有正確答案的序號都填寫在橫線上）
①BD=CD    ②∠BAD=∠CAD   ③AB+BD=AC+CD  ④DE=DF．

Answer 1

分析 四個條件都可以推出△ABC是等腰三角形，根據等腰三角形的定義，一一證明即可．

解答 解：①當BD=CD時，∵AD⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
②當∠BAD=∠CAD時，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
③當AB+BD=AC+CD時，延長DB至M，使BM=AB；延長DC至N，使CN=AC；連接AM、AN；

∵AB+BD=CD+AC，
∴DM=DN，又AD⊥BC；
∴△AMN是等腰三角形；
∴∠M=∠N；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠M；
同理，得∠ACB=2∠N；
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
④當DE=DF時，∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BAD=∠BAC，
由②可知，△ABC是等腰三角形．
故答案為①或②或③或④．

點評 本題考查等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的判定定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加輔助線，構造等腰三角形解決問題，屬于中考常考題型．