Question

13．如圖（1）是矩形紙片ABCD連續(xù)兩次對(duì)折展開平鋪后的圖形，折痕分別為EF，MN，GH．
（1）如圖（2），連接BD，與折痕GH，EF，MN分別交于點(diǎn)S，O，T，求證：OE=OF；
（2）如圖（3），連接ET并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)Q，連接FS并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)Q．求證：四邊形EPFQ是菱形；
（3）若四邊形EPFQ是正方形，則矩形ABCD需滿足的條件是AB=AD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形性質(zhì)得：AD=BC，AD∥BC，由對(duì)折性質(zhì)可知：ED=BF，證明△EOD≌△FOB可得OE=OF；
（2）連接OA，由全等得：OB=OD，所以A、O、C共線，根據(jù)平行線分線段成比例定理得比例式得出DT=OT，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等得四邊形EPFQ為平行四邊形，再利用△APE≌△DQE，得PE=EQ，由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，得?EPFQ是菱形；
（3）添加AB=AD后，四邊形EPFQ是正方形；證明△APE和△EQD是等腰直角三角形，得∠PEQ=90°，根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖（2），∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
由折疊得：G、E、M將AD四等分，
∴ED=BF，
∵∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB，
∴OE=OF；
（2）由（1）得：△EOD≌△FOB，
∴OD=OB，
連接AC，
∴A、O、C共線，
∵GT∥EO，
∴$\frac{DG}{EG}=\frac{DT}{OT}$=1，
∴DT=OT，
∵AE=ED，OT=DT，
∴ET∥AC，ET=$\frac{1}{2}$AO，
即EQ∥AC，
同理得：TQ=$\frac{1}{2}$OC，
∴EQ=$\frac{1}{2}$AC，
同理得：PF=$\frac{1}{2}$AC，PF∥AC，
∴PF=EQ，PF=EQ，
∴四邊形EPFQ是平行四邊形，
∵PF∥AC，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴P為AB的中點(diǎn)，
同理得：Q為DC的中點(diǎn)，
∴AP=QD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴△APE≌△DQE，
∴PE=EQ，
∴?EPFQ是菱形．
（3）當(dāng)AB=AD時(shí)，四邊形EPFQ是正方形，理由是：
∵E是AD的中點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，AP=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AD，
∴AP=AE，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠AEP=45°，
同理∠QED=45°，
∴∠PEQ=90°，
由（2）得：四邊形EPFQ是菱形，
∴四邊形EPFQ是正方形；
故答案為：AB=AD．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、三角形全等及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，難度適中，熟練掌握特殊四邊形的判定是關(guān)鍵．