Question

7．如圖所示，四邊形ABCD為矩形（對(duì)邊相等，四個(gè)角是直角），過點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在BE上取一點(diǎn)F，使DF=EF=4．設(shè)AB=x，AD=y，求代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+{y^2}-8y+16}$的值．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)得出∠BDF=∠DBF，因此DF=BF=4，得出CF=4-x，由勾股定理求出DF，即可得出代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+{y^2}-8y+16}$的值．

解答 解：由題意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°，
∵DF=EF，
∴∠E=∠FDE，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF=4，
∴CF=4-x，
在Rt△CDF中 $DF=\sqrt{C{D^2}+C{F^2}}=\sqrt{{x^2}+{{（4-y）}^2}}=4$，
∴$\sqrt{{x^2}+{y^2}-8y+16}$=$\sqrt{{x^2}+{{（y-4）}^2}}=4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握勾股定理，證出DF=BF是解決問題的關(guān)鍵．